高等数学：极限、连续、导数与微分基础

# 高等数学
## 第1章 极限与连续
### 1.1 微积分导读
- 微积分与初等数学的区别
  - 研究对象
  - 应用领域
- 微积分的经典问题
  - 瞬时变化率
  - 曲线下面积
### 1.2 函数
- 函数的概念
  - 定义域
  - 值域
  - 映射关系
- 函数特性
  - 单调性
    - 增函数
    - 减函数
  - 奇偶性
    - 奇函数
    - 偶函数
- 初等函数
  - 多项式函数
  - 指数函数
  - 对数函数
  - 三角函数
- 常用函数模型
  - 线性函数
  - 二次函数
  - 分段函数
### 1.3 极限
- 数列极限
  - 定义与性质
  - 收敛与发散
- 函数极限
  - 定义及计算
  - 单侧极限
- 极限的基本运算法则
  - 加法运算
  - 减法运算
  - 乘法运算
  - 除法运算
### 1.4 无穷小与无穷大
- 无穷小的定义
  - 函数值趋于零
- 无穷大的定义
  - 函数值趋于无穷
- 渐近线
  - 水平渐近线
  - 垂直渐近线
### 1.5 极限的运算法则与性质
- 极限存在的准则
  - 夹逼定理
  - 单调有界原理
- 重要极限
  - $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 $
  - $ \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e $
### 1.6 函数的连续性
- 连续的定义
  - 在某点的极限值与函数值相等
- 间断点类型
  - 可去间断点
  - 跳跃间断点
  - 无限间断点
- 连续函数的性质
  - 初等函数的连续性
    - 多项式
    - 指数
    - 对数
    - 三角函数
  - 闭区间上的性质
    - 介值定理
    - 最值定理
## 第2章 导数与微分
### 2.1 导数的概念
- 切线问题
  - 切线斜率的几何意义
- 导数的定义
  - 瞬时变化率的概念
- 可导性条件
  - 可导必连续
  - 连续不一定可导
### 2.2 求导法则
- 基本求导法则
  - 和的求导法则
  - 差的求导法则
  - 积的求导法则
  - 商的求导法则
- 反函数的求导法则
- 基本导数公式
  - 常用基本函数
- 复合函数求导
  - 链式法则
- 特定类型函数求导
  - 三角函数
  - 指数函数
  - 对数函数
### 2.3 高阶导数
- 定义和计算
  - 二阶导数
  - 三阶导数
### 2.4 微分及其应用
- 微分的定义
  - 函数增量的线性主部
- 微分的运算性质
  - 加法性质
  - 乘法性质
- 微分在近似计算中的应用
  - 线性近似
- 微分方程初步
  - 概念及简单例子