函数与极限：概念、性质、运算及重要极限

# 函数与极限
## 一、函数
### 函数的概念
#### 定义
- 自变量
- 因变量
- 对应法则
#### 定义域、值域
#### 函数的表示法
- 解析法
- 列表法
- 图像法
### 函数的特性
#### 有界性
- 上界
- 下界
- 有界的判定
#### 单调性
- 递增
  - 定义
  - 判定
- 递减
  - 定义
  - 判定
#### 奇偶性
- 奇函数
  - 定义
  - 性质
- 偶函数
  - 定义
  - 性质
- 判断方法
#### 周期性
- 周期定义
- 常见周期函数示例
### 反函数
#### 定义
#### 存在条件
- 一一对应关系
#### 原函数与反函数图像关系
### 复合函数
#### 复合过程分析
#### 定义域确定
- 综合考虑内外层函数定义域
### 初等函数
#### 基本初等函数
- 幂函数
- 指数函数
- 对数函数
- 三角函数
- 反三角函数
#### 初等函数定义
- 由基本初等函数经过有限次运算构成的函数
## 二、极限
### 极限的定义
#### 数列极限
- ε-N定义
- 当n趋于无穷时的变化趋势
#### 函数极限
- 自变量趋于有限值时极限：ε-δ定义
- 自变量趋于无穷时极限的拓展
### 极限的性质
#### 唯一性
- 若极限存在，则唯一
#### 局部有界性
- 在某去心邻域内函数有界
#### 局部保号性
- 极限值的正负与邻域内函数取值的关联
### 极限的运算法则
#### 四则运算法则
- 极限的和、差、积、商的运算规律及前提
#### 复合函数的极限运算法则
- 内外层函数极限的关联
### 极限存在准则
#### 夹逼准则
- 适用于数列与函数，通过夹逼确定极限
#### 单调有界准则
- 单调递增且有上界或单调递减且有下界的数列存在极限
### 两个重要极限
#### \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1
- 证明思路及相关变形应用
#### \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x} = e
- 应用于各类幂指函数极限计算
### 无穷小与无穷大
#### 无穷小的定义
- 极限为0的变量
#### 无穷小的性质
- 和、差、积仍为无穷小
#### 无穷小的比较
- 高阶、低阶、同阶、等价无穷小概念及应用
#### 无穷大的定义
- 自变量变化过程中函数绝对值无限增大
#### 无穷大与无穷小的关系
- 互为倒数的关系