常微分方程知识框架与解法概述

# 常微分方程知识框架与解法概述
## 一、基本概念
### 1. 微分方程定义
- 含未知函数及其导数的方程
- 阶：方程中最高阶导数的阶数
### 2. 解的分类
#### 通解
- 含独立任意常数的解
- 能表示所有解
#### 特解
- 通过定解条件确定常数后的解
### 3. 定解条件
#### 初值条件
- 给定某点的函数值及导数值
#### 边值条件
- 给定区间端点的函数值
## 二、一阶微分方程
### 1. 可分离变量方程
- 形式：dy/dx = f(x)g(y)
- 解法：分离变量后两边积分
### 2. 齐次方程
- 形式：dy/dx = f(y/x)
- 解法：令v = y/x，转化为可分离变量方程
### 3. 一阶线性微分方程
#### 齐次方程
- 形式：dy/dx + P(x)y = 0
- 解法：分离变量或积分因子法
#### 非齐次方程
- 形式：dy/dx + P(x)y = Q(x)
- 解法：
  - 积分因子法
  - 通解公式：y = e^(-∫Pdx) * ∫Qe^(∫Pdx) dx + C
#### 伯努利方程
- 形式：dy/dx + P(x)y = Q(x)yⁿ
- 解法：令z = y¹⁻ⁿ，转化为线性方程
## 三、可降阶的高阶微分方程
### 1. y⁽ⁿ⁾ = f(x)
- 解法：连续积分n次
### 2. y'' = f(x, y')
- 解法：令p = y'，方程降阶为p' = f(x, p)
### 3. y'' = f(y, y')
- 解法：令p = y'，方程转化为关于y和p的一阶方程
## 四、线性微分方程解的结构
### 1. 齐次方程解的性质
- 叠加原理：解的线性组合仍是解
- 基础解系：n个线性无关解构成通解
### 2. 非齐次方程解的结构
- 通解形式：齐次通解 + 非齐次特解
## 五、二阶常系数线性微分方程
### 1. 齐次方程
- 形式：y'' + py' + qy = 0
- 解法：
  - 特征方程：r² + pr + q = 0
  - 根的类型决定通解形式（实根/复根/重根）
### 2. 非齐次方程
- 形式：y'' + py' + qy = f(x)
- 解法：
  - 特解可通过待定系数法（猜解）
  - 或常数变易法求得
## 六、n阶常系数线性微分方程
### 1. 齐次方程
- 特征方程法，通解由特征根组合
### 2. 非齐次方程
- 叠加原理求特解
- 基于f(x)的性质（如多项式、指数、三角函数）
## 七、欧拉方程
- 形式：x²y'' + pxy' + qy = f(x)
- 解法：令x = eᵗ，转化为常系数线性方程