向量代数与空间解析几何的基本概念与应用

# 向量代数与空间解析几何
## 一、向量代数
### 向量的概念
- 定义
  - 大小（模）
  - 方向
- 特殊向量
  - 零向量
  - 单位向量
- 向量相等
  - 模相等
  - 方向相同
### 向量的线性运算
- 加减法
  - 平行四边形法则
  - 三角形法则
- 数乘
  - 缩放向量长度
- 性质
  - 交换律
  - 结合律
  - 分配律
### 向量的坐标表示
- 空间直角坐标系下的坐标
  - \(\mathbf a = (a_x, a_y, a_z)\)
- 模长 
  - \(|\mathbf a| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}\)
- 方向角与方向余弦
### 向量的积
- **点积（数量积）**
  - 定义
    - \(\mathbf a \cdot \mathbf b = |\mathbf a||\mathbf b|\cos\theta\)
  - 坐标运算
    - \(\mathbf a \cdot \mathbf b = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z\)
  - 应用
    - 求夹角
    - 投影
    - 判断垂直
- **叉积（向量积）**
  - 定义
    - \(|\mathbf a \times \mathbf b| = |\mathbf a||\mathbf b|\sin\theta\)
    - 方向垂直于\(\mathbf a\)和\(\mathbf b\)
  - 坐标运算
    - 行列式计算
  - 应用
    - 求法向量
    - 平行四边形面积
- **混合积**
  - 几何意义
    - 平行六面体体积
  - 坐标公式
    - 三向量的行列式
## 二、空间解析几何
### 空间曲面与曲线
- **曲面方程**
  - 一般式
    - \(F(x,y,z) = 0\)
  - 显式方程
    - \(z = f(x,y)\)
- **常见二次曲面**
  - 球面
  - 柱面
  - 锥面
  - 椭球面
  - 双曲面
  - 抛物面
- **空间曲线方程**
  - 参数方程
    - \(\mathbf r(t) = (x(t), y(t), z(t))\)
  - 交面式
    - 两曲面联立
### 平面方程
- 点法式
  - \(A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) = 0\)
- 一般式
  - \(Ax + By + Cz + D = 0\)
- 截距式
  - \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\)
- 两平面关系
  - 平行
  - 垂直
  - 夹角
### 直线方程
- 点向式（对称式）
  - \(\frac{x-x_0}{m} = \frac{y-y_0}{n} = \frac{z-z_0}{p}\)
- 参数式
  - \(x = x_0 + mt\)
  - \(y = y_0 + nt\)
  - \(z = z_0 + pt\)
- 一般式（交面式）
  - 两平面联立
- 两直线关系
  - 平行
  - 相交
  - 异面
### 距离与夹角
- 点到平面距离公式
- 点到直线距离公式
- 两平面/两直线夹角公式
## 三、应用与联系
- 几何问题转化为向量运算
  - 证明垂直
  - 共面
- 利用向量工具
  - 研究空间图形性质