动态电路时域分析与一阶二阶电路响应研究

# 动态电路时域分析与一阶二阶电路响应研究
## 1. 动态元件基础
### 1.1 电容元件
- 定义方程: $q(t) = C \cdot u_C(t)$
- VCR关系: $i_C(t) = C \frac{du_C}{dt}$
- 储能特性: $W_C = \frac{1}{2}Cu_C^2$
- 特殊性质
  - 电压连续性
  - 隔直流通交流
### 1.2 电感元件
- 定义方程: $\Psi(t) = L \cdot i_L(t)$
- VCR关系: $u_L(t) = L \frac{di_L}{dt}$
- 储能特性: $W_L = \frac{1}{2}Li_L^2$
- 特殊性质
  - 电流连续性
  - 通直流阻交流
## 2. 换路定则与初值计算
### 2.1 换路定则
- 电容
  - $u_C(0^+) = u_C(0^-)$
- 电感
  - $i_L(0^+) = i_L(0^-)$
- 适用范围: 有限功率电路
### 2.2 初值计算流程
1. 求$t=0^-$状态
2. 确定独立初值
3. 构建$t=0^+$等效电路
   - 电容→电压源（$u_C(0^+)$）
   - 电感→电流源（$i_L(0^+)$）
4. 求解相关初值
## 3. 一阶电路分析
### 3.1 三要素法
- 通用公式: $f(t) = f(\infty) + [f(0^+) - f(\infty)]e^{-t/\tau}$
- 要素获取
  - 初始值: 换路定则
  - 稳态值
    - 电容开路
    - 电感短路
  - 时间常数
    - RC电路: $\tau = R_{eq}C$
    - RL电路: $\tau = L/R_{eq}$
### 3.2 典型响应
- 零输入响应
  - 条件: 无电源激励
  - 表达式特征: 指数衰减
- 零状态响应
  - 条件: 初始储能为零
  - 表达式特征: 包含强制分量
- 完全响应
  - 条件: 电源+初始储能
  - 表达式特征: 两种响应叠加
## 4. 二阶电路分析
### 4.1 数学模型
- RLC串联电路方程
  $$LC\frac{d^2u_C}{dt^2} + RC\frac{du_C}{dt} + u_C = u_s$$
- 特征方程
  $$s^2 + 2\alpha s + \omega_0^2 = 0$$
### 4.2 响应类型判别
- 过阻尼
  - 判别式: $\alpha > \omega_0$
  - 响应特性: 非振荡衰减
- 临界阻尼
  - 判别式: $\alpha = \omega_0$
  - 响应特性: 最快无振荡衰减
- 欠阻尼
  - 判别式: $\alpha < \omega_0$
  - 响应特性: 衰减振荡
## 5. 特殊激励响应
### 5.1 阶跃响应
- 定义: 单位阶跃信号$\varepsilon(t)$激励下的零状态响应
- 求解技巧
  - 分段分析
  - 结合三要素法
### 5.2 冲激响应
- 求解方法
  1. 求对应阶跃响应$g(t)$
  2. 微分得到$h(t) = \frac{dg(t)}{dt}$
## 6. 工程应用分析
### 6.1 积分/微分电路
- 积分电路
  - 条件: $\tau \gg T$
  - 输入-输出关系: $