二次函数图像性质、方程与不等式解法及应用

# 二次函数图像性质、方程与不等式解法及应用
## 定义与基本形式
- 二次函数定义
  - 形式：f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0)
  - 特征：二次多项式
- 顶点式
  - 形式：f(x) = a(x - h)² + k
  - 优势：易于找到顶点
- 因式分解式
  - 形式：f(x) = a(x - r)(x - s)
  - 特点：根r和s的直接表示

## 图像与性质
- 图像
  - 类型：抛物线
  - 特性：开口与对称
- 开口方向
  - a > 0：开口向上
  - a < 0：开口向下
- 顶点
  - 定义：抛物线的最高/最低点
  - 坐标： (h, k)
- 对称轴
  - 定义：x = h
  - 特征：抛物线关于此轴对称
- 交点
  - 坐标轴交点：求根公式或图形法

## 系数与图像特征
- a的影响
  - 开口方向与大小
- b的影响
  - 对称轴的关系：x = -b/2a
- c的影响
  - y轴交点：(0, c)

## 顶点与最值
- 顶点坐标
  - 计算：h = -b/2a, k = f(-b/2a)
- 最值
  - 最大值或最小值：依据开口方向

## 解方程与不等式
- 二次方程解法
  - 方法
    - 求根公式
    - 因式分解
    - 配方法
- 二次不等式解法
  - 方法
    - 结合图像
    - 利用根的性质

## 变换与应用
- 平移变换
  - 沿x轴或y轴的移动
  - 对图像位置的影响
- 伸缩变换
  - 通过调整a、b、c实现
  - 形状和位置的变化
- 实际应用
  - 物理问题
    - 抛体运动
  - 经济问题
    - 成本分析

## 与其他数学概念的联系
- 与一次函数的关系
  - 近似情况：在特定条件下
- 与复数的应用
  - 二次方程的根的解析