傅里叶、拉普拉斯与Z变换及其应用

# 傅里叶、拉普拉斯与Z变换及其应用
## 傅里叶变换
### 定义
- 定义公式：
  - F(ω) = ∫_{-∞}^{∞} f(t) e^{-jωt} dt
  - f(t) = \frac{1}{2π} ∫_{-∞}^{∞} F(ω) e^{jωt} dω
- 条件：
  - 满足狄利克雷条件等
### 性质
- **线性性质**
  - a f_1(t) + b f_2(t) 变换
- **时移性质**
  - F(ω)e^{-jωt_0}
- **频移性质**
  - F(ω - ω_0)
- **尺度变换性质**
  - \frac{1}{|a|} F\left(\frac{ω}{a}\right)
- **卷积定理**
  - f_1(t) * f_2(t) 变换 = F_1(ω)F_2(ω)
### 应用
- **信号处理**
  - 频率成分分析
- **微分方程**
  - 线性常系数求解

## 拉普拉斯变换
### 定义
- 定义公式：
  - F(s) = ∫_{0}^{∞} f(t) e^{-st} dt
- 适用范围：
  - t ≥ 0
### 性质
- **线性性质**
  - a f_1(t) + b f_2(t) 变换
- **时移性质**
  - e^{-st_0} F(s)
- **频移性质**
  - F(s - s_0)
- **卷积定理**
  - f_1(t) * f_2(t) 变换 = F_1(s)F_2(s)
- **初值定理**
  - \lim_{t \to 0^+} f(t) = \lim_{s \to \infty} sF(s)
- **终值定理**
  - \lim_{t \to ∞} f(t) = \lim_{s \to 0} sF(s)
### 应用
- **微分方程**
  - 线性常系数的求解
- **控制系统**
  - 稳定性与动态特性分析

## Z变换
### 定义
- 定义公式：
  - X(z) = ∑_{n=-∞}^{∞} x(n) z^{n}
- 适用范围：
  - 离散序列 x(n)
### 性质
- **线性性质**
  - a x_1(n) + b x_2(n) 变换
- **时移性质**
  - z^{n_0} X(z)
- **卷积定理**
  - x_1(n) * x_2(n) 变换 = X_1(z)X_2(z)
### 应用
- **数字信号处理**
  - 离散时间信号分析

## 积分变换的求解方法
### 解法类型
- **直接计算**
  - 计算定积分或无穷级数
- **利用性质**
  - 变换性质简化计算
- **查表法**
  - 整理常见函数变换结果

## 反变换的求解方法
### 方法类别
- **傅里叶逆变换**
  - 直接计算或结合已知变换对
- **拉普拉斯逆变换**
  - 部分分式展开法和留数定理法
- **Z变换逆变换**
  - 长除法、部分分式展开法与留数定理法