一元函数微分学：导数、中值定理及应用

# 一元函数微分学
## 导数
- **定义**
  - f'(x₀) = lim (h → 0) (f(x₀ + h) - f(x₀)) / h
  - 如果极限存在，函数在该点可导
- **几何意义**
  - 切线斜率：f'(x₀) 在点 (x₀, f(x₀)) 处的切线斜率
- **物理意义**
  - 速度：f'(x) 是位移关于时间的函数的导数
- **计算方法**
  - **基本公式**
    - xⁿ' = n*x^(n-1)
    - sin(x)' = cos(x)
  - **运算法则**
    - 和差法则
    - 乘积法则
    - 商法则
    - 链式法则
## 高阶导数
- **定义**
  - f''(x) 是一阶导数的导数
## 微分
- **公式**
  - df(x) = f'(x) * dx
## 中值定理
- **罗尔定理**
  - f(x) 在 [a, b] 连续，(a, b) 可导
  - f(a) = f(b) => 存在 c ∈ (a, b)，使得 f'(c) = 0
- **拉格朗日中值定理**
  - 若 f 在 [a, b] 连续，(a, b) 可导
  - 存在 c ∈ (a, b) 使 f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a)
- **柯西中值定理**
  - f(x) 和 g(x) 在 [a, b] 连续
  - g'(x) ≠ 0
  - 存在 c ∈ (a, b) 使 f'(c) / g'(c) = (f(b) - f(a)) / (g(b) - g(a))
## 洛必达法则
- **用途**
  - 处理不定式极限：形如 0/0 或 ∞/∞
## 函数单调性
- **条件**
  - f'(x) > 0 => 单调递增
  - f'(x) < 0 => 单调递减
## 函数极值
- **临界点分析**
  - 若 f'(x₀) = 0 且 f''(x₀) ≠ 0
    - f''(x₀) < 0 => 极大值点
    - f''(x₀) > 0 => 极小值点
## 函数凹凸性
- **定义**
  - f''(x) > 0 => 凹函数
  - f''(x) < 0 => 凸函数
## 函数拐点
- **条件**
  - f''(x₀) = 0 且 f''(x) 在 x₀ 处变号
## 泰勒公式
- **n 阶泰勒公式**
  - f(x) = f(x₀) + f'(x₀)(x - x₀) + (f''(x₀)/2!)(x - x₀)² + ... + (fⁿ(x₀)/n!)(x - x₀)ⁿ + Rₙ(x)
## 函数最值
- **唯一性**
  - 连续函数在闭区间 [a, b] 上必定取得最大值和最小值